Produit scalaire : pour comprendre les bases

Produit scalaire : pour comprendre les bases

corrigé du fichier d'exercices associé à la vidéo Youtube « produit scalaire : pour comprendre les bases »

Sur la figure ci-contre, calculer

les produits scalaires suivants

de toutes les manières que les

données vous permettent :

$\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C}$
$\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I}$
$\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G}$
$\overset{⇀}{I D} \cdot \overset{⇀}{I C}$
$\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E}$
$\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A}$
$\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{G L}$

Figure 1. calculs.png $A E = 2$ unités

$\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C} = \overset{⇀}{D B} (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{D C} (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) = 16$ ;
- par la trigo : l'angle $\hat{C D B}$ est inconnu ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C} = \frac{1}{2} (D B^{2} + D C^{2} - B C^{2}) = \frac{1}{2} (25 + 16 - 9) = 16$ ;
- par projection sur $(D C)$ : $\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C} = \overline{D C} \times \overline{D C} = 4 \times 4 = 16$ ;
- par projection sur $(D B)$ : difficile de voir où $C$ va se projeter ;
- par Chasles : $\overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{D C} = (\overset{⇀}{D C} + \overset{⇀}{C B}) \cdot \overset{⇀}{D C} = \overset{⇀}{D C} \cdot \overset{⇀}{D C} + \underset{nul
  car ⊥}{\underset{⏟}{\overset{⇀}{C B} \cdot \overset{⇀}{D C}}} = D C^{2} = 16$ .
$\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I} = \overset{⇀}{B G} (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{B I} (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1.5 \end{array}) = - 4$ ;
- par la trigo : l'angle $\hat{G B I}$ est inconnu ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I} = \frac{1}{2} (B G^{2} + B I^{2} - G I^{2}) = \frac{1}{2} (4 + 6.25 - 18.25) = - 4$ ;
- par projection sur $(B G)$ : $\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I} = \overline{B G} \times \overline{B E} = 2 \times (- 2) = - 4$ ;
- par projection sur $(B I)$ : difficile de voir où $G$ va se projeter ;
- par Chasles : $\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B I} = \overset{⇀}{B G} \cdot (\overset{⇀}{B E} + \overset{⇀}{E I}) = \overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{B E} + \underset{nul
  car ⊥}{\underset{⏟}{\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{E I}}} = - B G^{2} = - 4$ .
$\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G} = \overset{⇀}{F E} (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{E G} (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) = 0$ ;
- par la trigo : $\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G} = F E \times E G \times \cos (\hat{\overset{⇀}{F E}, \overset{⇀}{E G}}) = 0$ car $(\hat{\overset{⇀}{F E}, \overset{⇀}{E G}}) = \frac{π}{2}$ ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G} = \frac{1}{2} (F E^{2} + E G^{2} - {|| \overset{⇀}{F E} - \overset{⇀}{E G} ||}^{2}) = \frac{1}{2} (9 + 16 - 25) = 0$ ;
- par projection sur $(E G)$ : $\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G} = \overline{E E} \times \overline{E G} = 0 \times 4 = 0$ ;
- par projection sur $(F E)$ : $\overset{⇀}{F E} \cdot \overset{⇀}{E G} = \overline{F E} \times \overline{E E} = 3 \times 0 = 0$ ;
$\overset{⇀}{I D} \cdot \overset{⇀}{I C}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{I D} \cdot \overset{⇀}{I C} = \overset{⇀}{I D} (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1.5 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{I C} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1.5 \end{array}) = - 4 + 2.25 = - 1.75$ ;
- par la trigo : angle $\hat{C I D}$ inconnu ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{I D} \cdot \overset{⇀}{I C} = \frac{1}{2} (I D^{2} + I C^{2} - D C^{2}) = \frac{1}{2} (6.25 + 6.25 - 16) = - 1.75$ ;
- projections impossibles : on ne sait pas où $D$ se projette sur $(I C)$ et vice-versa ;
- par Chasles : $\overset{⇀}{I D} \cdot \overset{⇀}{I C} = (\overset{⇀}{I F} + \overset{⇀}{F D}) \cdot (\overset{⇀}{I F} + \overset{⇀}{F C}) = I F^{2} + \overset{⇀}{I F} \cdot (\overset{⇀}{F D} + \overset{⇀}{F C}) + \overset{⇀}{F D} \cdot \overset{⇀}{F C} = 2.25 - 4 = - 1.75$ .
$\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E} = \overset{⇀}{A B} (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{G E} (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) = - 16$ ;
- par la trigo : $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E} = A B \times G E \times \cos (π) = 4 \times 4 \times (- 1) = - 16$ ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E} = \frac{1}{2} (A B^{2} + G E^{2} - {|| \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{G E} ||}^{2}) = \frac{1}{2} (32 - {|| 2 \overset{⇀}{A B} ||}^{2}) = - 16$ ;
- projection : $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{G E} = \overline{A B} \times \overline{G E} = 4 \times (- 4) = - 16$ ;
$\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A} = \overset{⇀}{E F} (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{I A} (\begin{array}{c} - 2 \\ 1.5 \end{array}) = - 4.5$ ;
- par la trigo : angle $(\hat{\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A}})$ inconnu ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A} = \frac{1}{2} (E F^{2} + I A^{2} - {|| \overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{I A} ||}^{2})$ mais pour $\overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{I A}$ il faudrait dessin plus large ;
- projection : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{I A} = \overline{E F} \times \overline{I E} = 3 \times (- 1.5) = - 4.5$ ;
$\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{G L}$
- par les coordonnées : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{G L} = \overset{⇀}{E F} (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{G L} (\begin{array}{c} ? \\ ? \end{array})$ mais ici on ne connaît pas les coordonnées de $L$ ;
- par la trigo : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{G L} = E F \times G L \times \cos (\frac{π}{4}) = 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$ ;
- par AlKashi : $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{G L} = \frac{1}{2} (E F^{2} + G L^{2} - {|| \overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{G L} ||}^{2})$ mais $\overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{G L}$ non évident ;
- projection : pas évident ici ;
- en fait pour celui-ci, vu la configuration, seule la formule trigo permet.